Question

5．在?ABCD中，∠A=∠DBC，過點D作DE=DF，且∠EDF=∠ABD，連接EF、EC，M、N、P分別為EF、EC、BC的中點，連接NP．請你發(fā)現(xiàn)∠ABD與∠MNP滿足的等量關系，并證明．

Answer 1

分析 首先連接BE、CF，延長CE交BD于點G，根據(jù)三角形的中位線定理，判斷出∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCEM，∠ENP=∠BEG；然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出△BDE≌△∠CDF，即可判斷出∠DBE=∠DCF；最后根據(jù)三角形的外角的性質，以及三角形的內(nèi)角和定理，判斷出∠ABD+∠MNP=180°即可．

解答 解：∠ABD+∠MNP=180°，
理由：如圖，連接BE、CF，延長CE交BD于點G，
∵點N、M分別為EC、EF的中點，
∴MN是△CEF的中位線，
∴MN∥CF，
∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，
∵點N、P分別為EC、BC的中點，
∴PN是△CBE的中位線，
∴PN∥BE，
∴∠ENP=∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
又∵∠EDF=∠ABD，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD，
又∵AB=CD，
∴BD=CD，
在△BDE和△∠CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDF}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△∠CDF，
∴∠DBE=∠DCF，
根據(jù)三角形的外角的性質，可得
∠BGE=∠BDC+∠DCE，
在△BGE中，
∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，
∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，
∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，
又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABD+∠MNP=180°．

點評 此題考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質以及線段垂直平分線的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用．