Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AM是∠DAC的平分線．
（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫作法）；
①作AC的中點(diǎn) E． 
②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F；
（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）①作線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)E即可；
②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F即可；
（2）利用平行線的判斷得出AF∥BC，再利用全等三角形的判定得出△AEF≌△CEB（ASA），進(jìn)而得出AF=BC．

解答 解：（1）①如圖，點(diǎn)E即為所求；
②如圖，點(diǎn)F即為所求；

（2）AF∥BC且AF=BC．
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C．
由作圖可知：∠DAC=2∠FAC，
∴∠C=∠FAC，
∴AF∥BC．
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE=CE．
在△AEF和△CEB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠ECB}\\{AE=EC}\\{∠AEF=∠CEB}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEB（ASA），
∴AF=BC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是作圖-基本作圖，熟知線段垂直平分線的作法及全等三角形的判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．