Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x軸上，點A的坐標(biāo)(－1，0)，點B在y軸的正半軸上，BC＝OB．

(1)求過點A、B、C的拋物線的解析式；

(2)動點E從點B(不包括點B)出發(fā)，沿BC運動到點C停止，在運動過程中，過點E作EF⊥AD于點F，將四邊形ABEF沿直線EF折疊，得到四邊形A₁B₁EF，點A、B的對應(yīng)點分別是點A₁、B₁，設(shè)四邊形A₁B₁EF與梯形ABCD重合部分的面積為S，F點的坐標(biāo)是(x，0)．

①當(dāng)點A₁落在(1)中的拋物線上時，求S的值；

②在點E運動過程中，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)△ABO中∠AOB＝90°tanA＝＝2， 　　∵點A坐標(biāo)是(－1，0)， 　　∴OB＝2． 　　∴點B的坐標(biāo)是(0，2)． 　　∵BC∥AD，BC＝OB， 　　∴點C的坐標(biāo)是(2，2)． 　　設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋2， 　　∵點A(－1，0)和點C(2，2)在拋物線上， 　　∴ 　　∴解得 　　∴y＝－x2＋x＋2． 　　(2)①當(dāng)點A1落在拋物線上，根據(jù)拋物線的軸對稱性可得A1與點A關(guān)于對稱軸對稱，由沿直線EF折疊，所以點E是BC中點， 　　重合部分面積就是梯形ABEF的面積． 　　∴S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)×BO＝2x＋1． 　　②當(dāng)0＜x≤1時，重合部分面積就梯形ABEF的面積， 　　由題得AF＝x＋1，BE＝x， 　　S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)×BO＝2x＋1． 　　方法一：當(dāng)1＜x≤2時，重合部分面積就是五邊形形A1NCEF的面積， 　　設(shè)A1B1交CD于點N，作MN⊥DF于點N，CK⊥AD于點K， 　　△NMA1∽△DMN， 　　＝， 　　∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2， 　　∴tan∠MA1N＝2． 　　∴MA1＝MN，MD＝2MN． 　　∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°， 　　∴tan∠CDK＝． 　　在△DCK中，∠CKD＝90°，CK＝OB＝2， 　　tan∠CDK＝＝， 　　∴DK＝4，OD＝6． 　　∵OF＝x，A1F＝x＋1， 　　∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2x，FD＝6－x． 　　∴MN＝(5－2x)． 　　∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝8－2x－(5－2x)2＝－x2＋x－． 　　方法二：當(dāng)1＜x≤2時，重合部分面積就是五邊形形A1MCEF的面積， 　　設(shè)A1B1交CD于點M，作MN⊥B1C交CB1延長線于點N， 　　由題得A1F＝x＋1，B1E＝x， 　　∴CE＝2－x，B1C＝2x－2． 　　∵BC∥AD， 　　∴∠A1B1N＝∠B1A1A，∠ADC＝∠DCB1． 　　∵∠BAO＝∠B1A1A，tan∠BAO＝2，∠ADC＋∠BAO＝90°， 　　∴tan∠A1B1N＝2＝，tan∠DCB1＝＝． 　　∴B1N＝MN，NC＝2MN． 　　∵NC－B1N＝CB1＝2x－2， 　　∴MN＝(x－1)， 　　∴S＝S梯形A1B1EF－S△B1CM＝2x＋1－(x－1)2＝－x2＋x－．