Question

3．將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊CD上的B′處，折痕為AE，過B′作B′P∥BC，交AE于點(diǎn)P，連接BP，已知BC=3，CB′=1．
（1）求AB的長．
（2）求證：四邊形BEB′P為菱形．
（3）求sin∠ABP的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB為x，根據(jù)折疊的性質(zhì)用x表示出AB′、B′D，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x的值即可；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和菱形的判定定理證明即可；
（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理以及正弦的概念求出sin∠CB′E，根據(jù)題意證明∠ABP=∠CB′E，即可得到答案．

解答 解：（1）設(shè)AB為x，由折疊的性質(zhì)可知，AB′=AB=x，
∵四邊形ABCD是矩形，CB′=1，
∴B′D=x-1，
由勾股定理得，AB′²=B′D²+AD²，即x²=（x-1）²+3²，
解得，x=5，
∴AB的長為5；
（2）由折疊的性質(zhì)可知，EB=EB′，PB=PB′，∠PEB=∠PEB′，
∵B′P∥BC，
∴∠BPE=∠PEB′，
∴∠PEB=∠BPE，
∴BE=BP，
∴EB=EB′=PB=PB′，
∴四邊形BEB′P為菱形；
（3）設(shè)BE為y，
由折疊的性質(zhì)可知，EB′=BE=y，CE=3-y，
由勾股定理得，B′E²=CE²+B′C²，即y²=（3-y）²+1²，
解得，y=$\frac{5}{3}$，即BE=$\frac{5}{3}$，
∴CE=$\frac{4}{3}$，
∴sin∠CB′E=$\frac{CE}{EB′}$=$\frac{4}{5}$，
∵四邊形BEB′P為菱形，
∴∠PBE=∠PB′E，
∴∠ABP=∠CB′E，
∴sin∠ABP=sin∠CB′E=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查的是菱形的判定、折疊的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的概念，掌握四條邊相等的四邊形是菱形、翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．