Question

已知，如圖，AB和AC是夾角為127°的兩面水泥墻俯視圖，其中AB墻長為5米，AC墻長為15米，現(xiàn)借用這兩面墻，并用16米長的籬笆（圖中線段DE，EF的長度和）作另兩面墻，圍成一個(gè)四邊形菜園ADEF，使得DE∥AC，DE⊥EF．設(shè)EF的長為x米，菜園ADEF的面積為y平方米．
（1）用x分別表示AD，AF的長；
（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)EF為何值時(shí)，菜園ADEF有最大值，最大值是多少？
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan37°≈0.75）

Answer 1

考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用,二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，構(gòu)建矩形AMEF和直角△ADM，通過矩形的性質(zhì)和解直角三角形進(jìn)行解答即可；
（2）利用（1）中的數(shù)據(jù)和梯形的面積公式進(jìn)行解答；
（3）利用（2）中的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求最值．

解答：解：（1）如圖，過點(diǎn)A作AM⊥DE于點(diǎn)M，
∵DE∥AC，DE⊥EF，
∴四邊形AMEF是矩形．
∴∠FAM=90°，EF=AM=x．
∵∠BAF=127°，
∴∠DAM=37°．
在直角△ADM中，DM=AM•tan37°≈0.75x，AD=

AM

cos37°

=

AM

sin53°

≈

5

3

x，
∴AF=16-x-0.75x=16-1.75x．

（2）y=

1

2

（AF+DE）•EF=

1

2

×（16-1.75x+16-x）x=

1

2

（32-2.75x）x=-

11

8

x²+16x．即y=-

11

8

x²+16x（0＜x＜

64

7

）；

（3）由（2）知，y=-

11

8

x²+16x，
所以y=-

11

8

x²+16x=-

11

8

（x²-

64

11

）²+

512

11

．
所以 當(dāng)x=

64

7

時(shí)，y_最大=

512

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用和二次函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最值時(shí)，也可以根據(jù)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)公式進(jìn)行解答．