Question

在△ABC中，AC＞BC，D為AB的中點(diǎn)，E為線(xiàn)段AC上的一點(diǎn)．
（1）如圖1，若AE=AC，∠C=90°，BC=2，AC=4，求DE的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若AE=BC且F為EC中點(diǎn)，求證：∠AFD=∠C；
（3）若2∠AED-∠C=180°，試探究AE、BC、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

（1）證明：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC交AC于G，（如圖1）
∵D為AB的中點(diǎn)，
∴E為AC的中點(diǎn)，
∴DG為△ACB的中位線(xiàn)，
∴DG=BC=1，
∵AE=AC，AC=4，
∴AE=1，
在Rt△DGE中，DE==；

（2）證明：連結(jié)BE，取BE中點(diǎn)M，再連結(jié)MF、MD．（如圖2）
∵F為EC中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，
∴MF∥BC且MF=BC，MD∥AB且MD=AB，
∴MF=MD，
∴∠MED=∠MDE，
又∵M(jìn)D∥AB，
∴∠AFD=∠MDE，
∵∠MED=∠MDE，
∴∠AFD=∠AFM，
∵M(jìn)F∥AC，
∴∠AFM=∠ACB，
∴∠AFD=∠ACB，
即：∠AFD=∠C；

（3）答：AC=2AE+BC，（如圖3）
證明：在EC上截取EM=AE，連接BM，作CH⊥BM，
∵2∠AED-∠C=180°，
∴∠AED=90°+∠MCH，
∴，
∴∠C=2∠MCH，易證△CHM≌△CHB，
∴BC=MC，
∴AC=2AE+BC．
分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AC交AC于G，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以E為AC的中點(diǎn)，則DG為△ACB的中位線(xiàn)，在△DGE中利用勾股定理即可求出DE的長(zhǎng)；
（2）連結(jié)BE，取BE中點(diǎn)M，再連結(jié)MF、MD．因?yàn)镕為EC中點(diǎn)，D為AB中點(diǎn)，所以 MF∥BC且MF=BC/2，MD∥AB且MD=AB，所以 MF=MD，所以∠MED=∠MDE，又因?yàn)镸D∥AB，所以∠AFD=∠MDE，因?yàn)椤螹ED=∠MDE，所以∠AFD=∠AFM，因?yàn)镸F∥AC，所以∠AFM=∠ACB，所以∠AFD=∠ACB，即：∠AFD=∠C；
（3）AC=2AE+BC，在EC上截取EM=AE，連接BM，作CH⊥BM，易證∠AED=90°+∠MCH，由已知可得，得∠C=2∠MCH，證△CHM≌△CHB，得BC=MC，結(jié)論可得．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用、全等三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理和外角和定理，解題的關(guān)鍵是截取線(xiàn)段相等，各種全等三角形，題目的難度不小．