Question

6．如圖所示，某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組要測(cè)量山坡上的電線桿PQ的高度，他們采取的方法是：先在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得桿頂端點(diǎn)P的仰角是45°，再向前走到B點(diǎn)，測(cè)得桿頂端點(diǎn)P和桿底端點(diǎn)Q的仰角分別是60°和30°，這時(shí)只需要測(cè)出AB的長(zhǎng)度就能通過(guò)計(jì)算求出電線桿PQ的高度，你同意他們的測(cè)量方案嗎？若同意，畫(huà)出計(jì)算時(shí)的圖形，簡(jiǎn)要寫(xiě)出計(jì)算的思路，不用求出具體值；若不同意，提出你的測(cè)量方案，并簡(jiǎn)要寫(xiě)出計(jì)算思路．

Answer 1

分析 延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，設(shè)測(cè)出AB的長(zhǎng)度為m米，在直角△APE和直角△BPE中，根據(jù)三角函數(shù)利用PE表示出AE和BE，根據(jù)AB=AE-BE即可列出方程求得PE的值，再在直角△BQE中利用三角函數(shù)求得QE的長(zhǎng)，則PQ的長(zhǎng)度即可求解．

解答 解：同意他們的測(cè)量方案；
延長(zhǎng)PQ交直線AB于點(diǎn)E，
設(shè)測(cè)出AB的長(zhǎng)度為m米．
在直角△APE中，∠A=45°，
則AE=PE；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE，
∵AB=AE-BE=m，
則PE-$\frac{\sqrt{3}}{3}$PE=m，
解得：PE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m．
則BE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-m=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m．
在直角△BEQ中，QE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$m）=$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m．
∴PQ=PE-QE=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$m-$\frac{\sqrt{3}+3}{6}$m=$\frac{\sqrt{3}+3}{3}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解直角三角形的應(yīng)用，注意掌握當(dāng)兩個(gè)直角三角形有公共邊時(shí)，先求出這條公共邊的長(zhǎng)是解答此類(lèi)題的一般思路．