Question

如圖，Rt△ABC中，∠B=Rt∠，點D在邊AB上，過點D作DG∥AC交BC于點G，分別過點D，G作DE∥BC，F(xiàn)G∥AB，DE與FG交于點O．當陰影面積等于梯形ADOF的面積時，則陰影面積與△ABC的面積之比為________．

Answer 1

分析：設(shè)△ODG的面積為S，作FH⊥AD于H，連結(jié)GE，易得四邊形ADGF為平行四邊形，可判斷Rt△DOG≌Rt△FHA，所以S_△AHF=S，由于陰影面積等于梯形ADOF的面積得到矩形HDOF的面積=△OFE的面積，于是有OF•OD=OF•OE，即OE=2OD，然后利用Rt△OEF∽Rt△ODG得到S_△OEF=4S，且S_△OGE=2S，接著判斷四邊形DGCE為平行四邊形，則S_△GEC=S_△GED=3S，所以S_△ABC=S_{四邊形ADOF}+S_陰影部分+S_△BDG+S_△OGCE=16S，最后計算陰影面積與△ABC的面積之比．
解答：設(shè)△ODG的面積為S，
作FH⊥AD于H，連結(jié)GE，如圖，
∵DG∥AC，F(xiàn)G∥AB，
∴四邊形ADGF為平行四邊形，
∴HF=OD，DG=AF，
∴Rt△DOG≌Rt△FHA，
∴S_△AHF=S，
∵陰影面積等于梯形ADOF的面積，
∴矩形HDOF的面積=△OFE的面積，
∴OF•OD=OF•OE，
∴OE=2OD，
∵Rt△OEF∽Rt△ODG，
∴=（）²=4，
∴S_△OEF=4S，
∵OE=OD，
∴S_△OGE=2S_△ODG=2S，
∵DE∥GC，
∴四邊形DGCE為平行四邊形，
∴S_△GEC=S_△GED=2S+S=3S，
而S_△BDG=S_△ODG=S，
∴S_△ABC=S_{四邊形ADOF}+S_陰影部分+S_△BDG+S_△OGCE
=5S+5S+S+5S=16S，
∴陰影面積與△ABC的面積之比==．
故答案為．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：兩組角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形面積的比等于相似比的平方．也考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形面積公式．