Question

3．如圖，在⊙O中，點C是直徑AB延長線上一點，過點C作⊙O的切線，切點為D，連結BD．
（1）求證：∠A=∠BDC；
（2）若CM平分∠ACD，且分別交AD、BD于點M、N，當DM=1時，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）由圓周角推論可得∠A+∠ABD=90°，由切線性質可得∠CDB+∠ODB=90°，而∠ABD=∠ODB，可得答案；
（2）由角平分線及三角形外角性質可得∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，根據(jù)勾股定理可求得MN的長．

解答 解：（1）如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，
又∵CD與⊙O相切于點D，
∴∠CDB+∠ODB=90°，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠A=∠BDC；
（2）∵CM平分∠ACD，
∴∠DCM=∠ACM，
又∵∠A=∠BDC，
∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，
∵∠ADB=90°，DM=1，
∴DN=DM=1，
∴MN=$\sqrt{D{M}^{2}+D{N}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查切線的性質、圓周角定理、角平分線的性質及勾股定理，熟練掌握切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑是解本題的關鍵，．