Question

如圖，已知，⊙O為△ABC的外接圓，BC為直徑，點E在AB上，過點E作EF⊥BC，點G在FE的延長線上，且GA=GE．
（1）求證：AG與⊙O相切．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求線段OE的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理,圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,幾何綜合題

分析：（1）連接OA，由OA=OB，GA=GE得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE；再由EF⊥BC，得出∠BFE=90°，進一步由∠ABO+∠BEF=90°，∠BEF=∠GEA，最后得出∠GAO=90°求得答案；
（2）BC為直徑得出∠BAC=90°，利用勾股定理得出BC=10，由△BEF∽△BCA，求得EF、BF的長，進一步在△OEF中利用勾股定理得出OE的長即可．

解答：（1）證明：如圖，

連接OA，
∵OA=OB，GA=GE
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°，
∴∠ABO+∠BEF=90°，
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE=90°，
即AG與⊙O相切．

（2）解：∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴

BF

BA

=

BE

BC

=

EF

AC

∴EF=1.8，BF=2.4，
∴0F=0B-BF=5-2.4=2.6，
∴OE=

EF2+OF2

=

10

．

點評：本題考查了切線的判定：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理的推論．