Question

20．如圖①，若直線l：y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B，將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD．過點(diǎn)A，B，D的拋物線h：y=ax²+bx+4．

（1）求拋物線h的表達(dá)式；
（2）若與y軸平行的直線m以1秒鐘一個(gè)單位長(zhǎng)的速度從y軸向左平移，交線段CD于點(diǎn)M、交拋物線h于點(diǎn)N，求線段MN的最大值；
（3）如圖②，點(diǎn)E為拋物線h的頂點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線h在第二象限的上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D、B重合），連接PE，以PE為邊作圖示一側(cè)的正方形PEFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變，當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先由直線l的解析式得出A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出D點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）設(shè)出N點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)用橫坐示表示，同時(shí)表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，而MN的長(zhǎng)度為N點(diǎn)與M點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差，得出MN的長(zhǎng)度是N點(diǎn)橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用配方法求出最值；
（3）顯然分G點(diǎn)在y軸上和F點(diǎn)在y軸上兩大情況，根據(jù)每種情況列方程進(jìn)行求解．

解答 解：（1）∵直線l：y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A、交y軸于點(diǎn)B，
∴A（2，0），B（0，4），
∵將△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△COD，
∴D（-4，0），C（0，2），
設(shè)過點(diǎn)A，B，D的拋物線h的解析式為：y=a（x+4）（x-2），
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入可得：4=a（0+4）（0-2），
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線h的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4；
（2）∵D（-4，0），C（0，2），
∴直線CD的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+2，
設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（n，-$\frac{1}{2}$n²-n+4），
則M點(diǎn)坐標(biāo)為（n，$\frac{1}{2}n+2$），
∴MN=y_N-y_M=-$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{3}{2}n+2$=-$\frac{1}{2}$（n+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴當(dāng)n=-$\frac{3}{2}$時(shí)，MN最大，最大值為$\frac{25}{8}$；
（3）若G點(diǎn)在y軸上，如圖，

作PH⊥y軸于H，交拋物線對(duì)稱軸于K，
在△PKE和△GHP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EPK=∠PGH}\\{PE=GP}\\{∠PEK=∠GPH}\end{array}\right.$，
∴△PKE≌△GHP，
∴PK=GH，EK=PH，
∵y=-$\frac{1}{2}$x²-x+4=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴E（-1，$\frac{9}{2}$），
設(shè)P（m，-$\frac{1}{2}{m}^{2}-m+4$），則：
EK=y_E-y_P=$\frac{9}{2}$+$\frac{1}{2}{m}^{2}+m-4$=$\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$，
PH=-m，
∴$-m=\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$，
∴$m=-2±\sqrt{3}$，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}-\sqrt{3}$）（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}+\sqrt{3}$）；
若F點(diǎn)在y軸上，如圖，

作PR⊥拋物線對(duì)稱軸于R，F(xiàn)Q⊥拋物線對(duì)稱軸于Q，
則△PER≌△EFQ，
∴ER=FQ，
∴y_E-y_P=-x_E，
∴$\frac{1}{2}{m}^{2}+m+\frac{1}{2}$=1，
∴m=-1-$\sqrt{2}$或m=-1+$\sqrt{2}$（舍），
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$），
綜上所述，滿足要求的P點(diǎn)坐標(biāo)有三個(gè)，分別為：（-2-$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}-\sqrt{3}$）、（-2+$\sqrt{3}$，$\frac{5}{2}+\sqrt{3}$、（-1-$\sqrt{2}$，$\frac{7}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)圖象上坐標(biāo)點(diǎn)的特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用縱坐標(biāo)之差表示豎直方向線段的長(zhǎng)度，利用配方法求二次函數(shù)最值，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二次方程等眾多知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．對(duì)于（3）問，根據(jù)正方形的性質(zhì)巧妙構(gòu)造出全等三角形，從而得出線段相等而列出方程是解答的關(guān)鍵和要點(diǎn)．