Question

4．如圖，在平行四邊形ABCD中，AM⊥BD于M，CN⊥BD于N，連接CM、AN
（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；
（2）若∠CBD=30°，∠ABD=45°，AM=2．求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行可得AM∥CN，在根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明△ABM與△CDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=CN，然后根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可證明；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AD∥BC，推出∠ADB=∠CBD=30°，由于AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，得到AB=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{2}$，AD=2AM=4，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AM⊥BD于點(diǎn)M，CN⊥BD于點(diǎn)N，
∴∠AMN=∠CNM=90°，
∴AM∥CN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABM=∠CDN，
在△ABM與△CDN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABM=CDN}\\{∠AMB=∠CND=90°}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴AM=CN，
∴四邊形AMCN是平行四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD=30°，
∵AM⊥BD，∠ABM=45°，AM=2，
∴AB=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{2}$，AD=2AM=4，
∴?ABCD的周長(zhǎng)=（2$\sqrt{2}$+4）×2=4$\sqrt{2}$+8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，利用三角形全等證明得到AM=CN是證明的關(guān)鍵．