Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動。
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm²），當△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小，若存在，求出最小周長，若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設AC=4x，BC=3x， 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2， 即：（4x）2+（3x）2=102， 解得：x=2， ∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H， ∵AP=x， ∴BP=10-x，BQ=2x， ∵△QHB∽△ACB， ∴， ∴QH=x，y=BP·QH=（10-x）·x=-x2+8x（0＜x≤3）， ②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′， ∵AP=x， ∴BP=10-x，AQ=14-2x， ∵△AQH′∽△ABC， ∴， 即：， 解得：QH′=（14-x）， ∴y=PB·QH′=（10-x）·（14-x）=x2-x+42（3＜x＜7）； ∴y與x的函數(shù)關系式為：y=；
（3）∵AP=x，AQ=14-x， ∵PQ⊥AB， ∴△APQ∽△ACB， ∴， 即：， 解得：x=，PQ=， ∴PB=10-x=， ∴， ∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；
（4）存在， 理由： ∵AQ=14-2x=14-10=4，AP=x=5， ∵AC=8，AB=10， ∴PQ是△ABC的中位線， ∴PQ∥AB， ∴PQ⊥AC， ∴PQ是AC的垂直平分線， ∴PC=AP=5， ∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小， ∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16， ∴△BCM的周長最小值為16。