Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy，對(duì)于點(diǎn)P（xp，yp）和圖形G，設(shè)Q（xQ，yQ）是圖形G上任意一點(diǎn)，|xp﹣xQ|的最小值叫點(diǎn)P和圖形G的“水平距離”，|yp﹣yQ|的最小值叫點(diǎn)P和圖形G的“豎直距離”，點(diǎn)P和圖形G的“水平距離”與“豎直距離”的最大值叫做點(diǎn)P和圖形G的“絕對(duì)距離”

例如：點(diǎn)P（﹣2，3）和半徑為1的⊙O，因?yàn)?/span>⊙O上任一點(diǎn)Q（xQ，yQ）滿足﹣1≤xQ≤1，﹣1≤yQ≤1，點(diǎn)P和⊙O的“水平距離”為|﹣2﹣xQ|的最小值，即|﹣2﹣（﹣1）|=1，點(diǎn)P和⊙O的“豎直距離”為|3﹣yQ|的最小值即|3﹣1|=2，因?yàn)?/span>2＞1，所以點(diǎn)P和⊙O的“絕對(duì)距離”為2．

已知⊙O半徑為1，A（2，），B（4，1），C（4，3）

（1）①直接寫出點(diǎn)A和⊙O的“絕對(duì)距離”

②已知D是△ABC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D與⊙O的“絕對(duì)距離”為2時(shí)，寫出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）已知E是△ABC邊一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)E與⊙O的“絕對(duì)距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E的坐標(biāo)

（3）已知P是⊙O上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC沿直線AB平移過程中，直接寫出點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)P和點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①1.5；②D的坐標(biāo)為（3，）或（3，）；（2）E坐標(biāo)為（，）；（3）C（，），P（，）．點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的最小值為．

【解析】

（1）①點(diǎn)A和⊙O的“絕對(duì)距離”的定義求出點(diǎn)A和⊙O的“豎直距離”與“水平距離”即可解決問題．
②當(dāng)點(diǎn)D與⊙O的“絕對(duì)距離”為2時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，求出直線AB，AC的解析式即可解決問題．
（2）由題意可知滿足條件的點(diǎn)E在直線y=x與直線AB的交點(diǎn)處．構(gòu)建方程組即可解決問題．
（3）如圖3中，過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F在直線y=x上時(shí)，點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的有最小值，此時(shí)點(diǎn)P即為直線y=x與⊙O的交點(diǎn)（如圖所示）．設(shè)F（m，m）則B（m+2，m），利用待定系數(shù)法求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可解決問題．

（1）如圖1中，

①∵點(diǎn)A和⊙O的“水平距離”是1，點(diǎn)A和⊙O的“豎直距離”是1．5，

又∵1．5＞1，∴點(diǎn)A和⊙O的“絕對(duì)距離”是1．5．

②當(dāng)點(diǎn)D與⊙O的“絕對(duì)距離”為2時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3．

∵A（2，），B（4，1），C（4，3），

∴直線AB速度解析式為yx+4，直線AC的解析式為yx+2，

∴D（3，），D'（3，），

綜上所述：滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）或（3，）．

（2）如圖2中，

由題意可知滿足條件的點(diǎn)E在直線y=x與直線AB的交點(diǎn)處．

由，解得，

∴滿足條件的點(diǎn)E坐標(biāo)為（，）．

（3）如圖3中，過點(diǎn)A作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F在直線y=x上時(shí)，點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的有最小值，此時(shí)點(diǎn)P即為直線y=x與⊙O的交點(diǎn)（如圖所示）．

設(shè)F（m，m）則B（m+2，m）．

∵點(diǎn)B在直線yx+4上，

∴m（m+2）+4，

解得：m，

∴F（，），B（，）．

∵BC∥y軸，BC=2，

∴C（，），此時(shí)P（，）．

∴點(diǎn)P與△ABC的“絕對(duì)距離”的最小值為．