Question

如圖，?ABCD中，A（0，3），C（6，0），∠DCB=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)E（-4，0）出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．

（1）D點(diǎn)坐標(biāo)為

（3，3）

．
（2）當(dāng)∠PAB=15°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）以點(diǎn)P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而變化，當(dāng)⊙P與?ABCD的邊（或邊所在的直線）相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及A，C點(diǎn)坐標(biāo)即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）分別根據(jù)當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，且∠PAB=15°時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，且∠PAB=15°時(shí)，求出OP的長(zhǎng)即可得出答案；
（3）①當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，t=1，②當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，t=4，③當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，過(guò)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，利用勾股定理求出即可．

解答：解：（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，
∵∠DCB=45°，
∴∠CDB=45°，
∴DB=FC，
∵A（0，3），C（6，0），
∴DB=FC=3，
∴AD=BO=3，此時(shí)F，B重合，
∴D（3，3）；
故答案為：（3，3）；

（2）當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)，且∠P′AB=15°時(shí)，
由題意可得：AO=BO=3，
∴∠OAB=45°，
∵∠P′AB=15°，
∴∠OAP′=30°，
∴tan30°=

OP′

AO

，
∴OP′=AO×

3

3

=

3

，
∴P′（

3

，0），
當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)，且∠P″AB=15°時(shí)，
由題意可得：AO=BO=3，
∴∠OAB=45°，
∵∠P″AB=15°，
∴∠OAP″=60°，
∴tan60°=

OP″

AO

=

3

，
∴OP″=3

3

，
∴P″（3

3

，0），
綜上所述：P′（

3

，0）或P″（3

3

，0）；

（3）①當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，此時(shí)PA=AB=3

2

，則PE=1，故t=1，
②當(dāng)⊙P與AD相切時(shí)，此時(shí)P與O重合，則t=4，
③如圖備用圖：當(dāng)⊙P與CD相切時(shí)，過(guò)P作PM⊥CD于點(diǎn)M，
PA²=3²+（t-4）²，
PM²=[

2

2

（10-t）]²，
則：3²+（t-4）²=

1

2

（10-t）²，
解得：t=-2±3

6

（負(fù)值舍去），
∴t=3

6

-2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及勾股定理和切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意利用分類討論得出是解題關(guān)鍵，注意不要漏解．