Question

8．觀察下列的變形及規(guī)律：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；…
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）證明你的結(jié)論；
（3）利用上述規(guī)律計(jì)算：$\frac{1}{n（n+2）}$+$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$+$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)分母的變化直接猜想得出即可；
（2）利用分式的加減運(yùn)算法則化簡得出即可；
（3）利用拆項(xiàng)法變形可得$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}×$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），進(jìn)而可得$\frac{1}{（n+2）（n+4）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$），$\frac{1}{（n+4）（n+6）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n+4}$-$\frac{1}{n+6}$），然后再計(jì)算即可．

解答 （1）解：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）證明：右邊=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=左邊，
所以猜想成立．

（3）原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+4}$+$\frac{1}{n+4}$-$\frac{1}{n+6}$），
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+6}$），
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n+6-n}{n（n+6）}$，
=$\frac{1}{2}$×$\frac{6}{n（n+6）}$，
=$\frac{3}{n（n+6）}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了分式的加減計(jì)算，關(guān)鍵是利用拆項(xiàng)法找出計(jì)算規(guī)律．