Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線AD交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)G．
（1）連接CD，若AG=4，DG=2，求CD的長(zhǎng)；
（2）過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB、AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F．求證：EF與⊙O相切．

Answer 1

（1）解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAB=∠DAC
∵∠DAB和∠DCB對(duì)同弧
∴∠DAB=∠DCB，
即∠DCG=∠DAB
∴△ACD∽△CGD，
∴
∴CD²=DG•DA=2•（2+4）=12
∴CD=2；

（2）證明：連接OD，
∵∠DAC=∠DAB
∴D為弧BC的中點(diǎn)
∴OD⊥BC
∵BC∥EF
∴OD⊥EF
∴EF與⊙O相切．
分析：（1）可通過(guò)證△CGD∽△ACD，得出AG、GD、CD的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，即可求出CD的長(zhǎng)；
（2）連接OD，證OD⊥EF即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、切線的判定、垂徑定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．