Question

已知直角三角形的邊長均為整數，周長為60，求它的外接圓的面積．

Answer 1

解：設直角三角形的三邊長分別為a，b，c（a≤b＜c），
則a+b+c=60．
∵a≤b＜c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＜3c，
∴c＞20．
∵a+b＞c，a+b+c=60，
∴60=a+b+c＞2c，
∴c＜30．
又∵c為整數，
∴21≤c≤29．根據勾股定理可得：a²+b²=c²，把c=60﹣a﹣b代入，化簡得：ab﹣60（a+b）+1800=0，
∴（60﹣a）（60﹣b）=1800=2³×3²×5²，
∵a，b均為整數且a≤b，
∴只可能是或解得或，
∵三角形的外接圓的直徑即為斜邊長c，
∴當a=20，b=15時，c=25，三角形的外接圓的面積為；a=10，b=24時，c=26，三角形的外接圓的面積為169π．