Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長(zhǎng)為2

3

，點(diǎn)A為弦BC所對(duì)優(yōu)弧上任意一點(diǎn)（B，C兩點(diǎn)除外）．
（1）求∠BAC的度數(shù)；
（2）求△ABC面積的最大值．
（參考數(shù)據(jù)：sin60°=

3

2

，cos30°=

3

2

，tan30°=

3

3

．）

Answer 1

分析：（1）連接OB，OC，過(guò)O作OD⊥BC，利用垂徑定理得到D為BC的中點(diǎn)，求出BD的長(zhǎng)，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OD的長(zhǎng)，得到OD等于OB的一半，利用直角三角形中直角邊等于斜邊的一半，可得出此直角邊所對(duì)的角為30度，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，利用三角形內(nèi)角和定理求出∠BOC的度數(shù)，最后利用同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半即可求出∠BAC的度數(shù)；
（2）當(dāng)AB=AC，即三角形ABC為等邊三角形時(shí)，面積最大，由BC的長(zhǎng)求出最大面積即可．

解答：解：（1）連接OB，OC，過(guò)O作OD⊥BC，可得D為BC的中點(diǎn)，即BD=CD=

1

2

BC=

3

，
在Rt△OBD中，OB=2，BD=

3

，
根據(jù)勾股定理得：OD=

OB2-BD2

=1，
∴OD=

1

2

OB，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BAC與∠BOC都對(duì)

BC

，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=60°；

（2）當(dāng)AB=AC，即△ABC為等邊三角形時(shí)，面積最大，
此時(shí)面積為

3

4

×（2

3

）²=3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，以及含30度直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．