Question

已知拋物線y=x²+bx+c與x軸交與A、B兩點（A點在B點左側），與y軸交與點C（0，-3），對稱軸是直線x=1，直線BC與拋物線的對稱軸交與點D．
（1）求拋物線的函數關系式．
（2）若平行于x軸的直線與拋物線交于點M、N（M點在N點左側），且MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓的半徑．
（3）若點M在第三象限，記MN與y軸的交點為點F，點C關于點F的對稱點為點E．
①當線段MN=AB時，求tan∠CED的值；
②當以C、D、E為頂點的三角形是直角三角形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c與y軸交于點C（0，-3），
∴c=-3，
對稱軸為直線x=-=1，
∴b=-2，
∴拋物線的函數關系式y(tǒng)=x²-2x-3；

（2）設圓的半徑為r，則直徑MN=2r，
①當直線MN在x軸上方時，點N的坐標為（r+1，r），
代入拋物線解析式得，（r+1）²-2（r+1）-3=r，
整理得，r²-r-4=0，
解得r₁=，r₂=（舍去）；
②當直線MN在x軸下方時，（r+1）²-2（r+1）-3=-r，
整理得，r²+r-4=0，
解得r₃=，r₄=（舍去），
所以該圓的半徑為或；

（3）①令y=0，則x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=4，
∵MN=AB，
∴MN=×4=3，
根據二次函數的對稱性，點N的橫坐標為1+=，
代入二次函數解析式得，y=（）²-2×-3=-，
∴點N的坐標為（，-），
點F的縱坐標為-，
∵點C關于點F的對稱點為E，-×2-（-3）=-，
∴點E的坐標為（0，-），
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），
則，
解得，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
x=1時，y=1-3=-2，
∴點D的坐標為（1，-2），
tan∠CED==；

②∵直線BC的解析式為y=x-3，
∴∠BCO=45°，
若∠CDE=90°，則△CDE是等腰直角三角形，
∴點F與點D縱坐標相同，為-2，
∴點M的縱坐標為-2，
代入二次函數y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-2，
整理得，x²-2x-1=0，
解得x₁=1-，x₂=1+，
∵點M在第三象限，
∴點M的坐標為M（1-，-2）；
若∠CED=90°，則點E與點D的縱坐標相同，為-2，
∵點C關于點F的對稱點為E，
∴點F的縱坐標為=-，
∴點M的縱坐標為-，
代入二次函數y=x²-2x-3得，x²-2x-3=-，
整理得，2x²-4x-1=0，
解得x₁=1+，x₂=1-，
∵點M在第三象限，
∴點M的坐標為M（1-，-），
綜上所述，點M的坐標為（1-，-2）或（1-，-）．
分析：（1）把點C的坐標代入函數解析式求出c，再根據對稱軸求出b，即可得解；
（2）設圓的半徑為r，則MN=2r，再分直線MN在x軸上方與下方兩種情況表示出點N的坐標，然后代入拋物線解析式計算即可求出r；
（3）①令y=0解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標，從而得到AB，再求出MN的長度，根據拋物線的對稱性求出點N的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點N的縱坐標，即點F的縱坐標，再根據點的對稱求出點E的坐標，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0，k、b為常數），利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求出點D的坐標，然后根據點D、E的坐標，利用銳角的正切的定義列式計算即可得解；
②根據直線BC的解析式可得∠BCO=45°，然后分∠CDE=90°時，△CDE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質，點F與點D的縱坐標相同，即為點M的縱坐標，然后代入拋物線解析式，計算即可得到點M的坐標；∠CED=90°時，點E與點D的縱坐標相同，根據對稱性求出點F的縱坐標，即為點M的縱坐標，然后代入拋物線解析式，計算即可得到點M的坐標．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，直線與圓的位置關系，銳角三角函數的定義，點的對稱，綜合性較強，但難度不大，難點在于要分情況討論．