Question

如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分線，以AC為邊向外作等邊三角形ACE，BE分別與AD、AC交于點F、G，連接CF．
（1）求證：∠FBD=∠FCD；
（2）若AF=3，DF=1，求EF的值．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分線，
∴AD垂直平分BC，
∴FB=FC，
∴∠FBD=∠FCD；

（2）解：過A作AH⊥BE于H點，如圖，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，BH=EH，
∴∠ABF=∠ACF，
∵△ACE為等邊三角形，
∴AC=AE，∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴∠ACF=∠AEG，
∴∠GFC=∠EAG=60°，
而∠GFC=∠FBC+∠FCD，
∴∠FBC=30°，
∴BF=2FD=2，BD=FD=，
設(shè)FH=x，
在Rt△ABD中，AB²=AD²+BD²=16+3=19，
在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=AH²+（x+2）²，
在Rt△AFH中，AH²=AF²-FH²=9-x²，
∴19=9-x²+（x+2）²，解得x=，
∴BH=BF+FH=3+=，
∴BE=2BH=9，
∴EF=BE-BF=9-3=6．
分析：（1）由于△ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是角平分線根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD垂直平分BC，則FB=FC，所以∠FBD=∠FCD；
（2）過A作AH⊥BE于H點，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，BH=EH，則∠ABF=∠ACF，所以∠ACF=∠AEG，則∠GFC=∠EAG=60°，利用三角形外角性質(zhì)得∠GFC=∠FBC+∠FCD，則∠FBC=30°，于是BF=2FD=2，BD=FD=，設(shè)FH=x，利用勾股定理得到AB²=AD²+BD²=16+3=19，在Rt△ABH中，AB²=AH²+BH²=AH²+（x+2）²，在Rt△AFH中，AH²=AF²-FH²=9-x²，可得到關(guān)于x的方程19=9-x²+（x+2）²，解得x=，再求出BH、BE的長，然后利用EF=BE-BF計算．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．