Question

如圖，已知直線y=x-1與y軸交于點C，將拋物線y=-（x-2）²向上平移n個單位（n＞0）后與x軸交于A，B兩點。
（1）直接寫出點C的坐標；
（2）當經過C，A，B三點的圓的面積最小時。
①求n的值；
②在y軸右側的拋物線上是否存在一點P，使得既與直線y=x-1相切，又與y軸相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）令x=0，y=0-1=-1， ∴點C的坐標（0，-1）； （2）①平移后二次函數(shù)的解析式為y=-（x-2）2+n 由題意知：過C，A，B三點的圓的圓心一定在直線x=2上，點C為定點， ∴當圓的半徑等于點C到直線x=2的距離時，圓的半徑最小，從而圓的面積最�。�此時，圓的半徑為2，面積為4π， 設圓心為M，直線x=2與x軸交于點D，連結AM，則AM=2，DM=1， 在Rt△PMD中，AD= ∴點A的坐標是（2-，0），代入拋物線得n=， ∴當n=時，過C，A，B三點的圓的面積最小，最小面積為4π； （3）如圖2，當點P在直線AC下方時，設直線y=x-1與x軸相交于點E，過點P作PN⊥EC于點N，PM∥y軸交EC于點N，則∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°， ∴△PMN∽△ECO， ∴ 令y=x-1=0.則x=，即OE=，CE=， 設點P的橫坐標為m，則PM=m-1+（m-2）2-= ∴PN=， 根據(jù)題意，=m，解得m1=， m2=（不合題意，舍去） 即點P的坐標是（） 當點P在直線AC上方時，同理可得=-m， 解得m3=（不合題意，舍去）， 即點P的坐標是（）， 綜上，點P的坐標是（）或（）。