Question

13．已知Rt△DEF按如圖所示的位置放置，∠E=90°，∠EDF=30°，DE=6$\sqrt{3}$，點(diǎn)H為線段FD延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△DEH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAK，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是A，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是K，若△EHK的面積為4$\sqrt{3}$，則DH的值為2．

Answer 1

分析 將△DEH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAK，得到△KDH是等邊三角形，求得∠EDK=180°-∠EDF-∠KDH=90°，作HG⊥ED于G，設(shè)DH=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到HG=$\frac{1}{2}$x，根據(jù)三角形的面積列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵將△DEH繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DAK，
∴△KDH是等邊三角形，
∵∠EDK=180°-∠EDF-∠KDH=90°，
作HG⊥ED于G，
∴∠HDG=30°，
設(shè)DH=x，
∴HG=$\frac{1}{2}$x，
∵S_△EDH=$\frac{1}{2}$DE•HG=$\frac{1}{2}$DE•$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{4}$DE•x，S_△EDK=$\frac{1}{2}$DE•DK=$\frac{1}{2}$DE•x，S_△DKH=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²，
∴S_△EKH=S_△EDK+S_△DKH+D_△EDH=$\frac{1}{2}$DE•x++$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{1}{4}$DE•x=3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x=4$\sqrt{3}$，
∴x=2，
∴DH=x=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．