Question

6．如圖1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC內(nèi)部作∠MAN=45°．AM、AN分別交BC于點(diǎn)M，N．
【操作】
（1）將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AB邊與AC邊重合，把旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記作點(diǎn)Q，得到ACQ，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出△ACQ；（不寫出畫法）
【探究】
（2）在（1）中作圖的基礎(chǔ)上，連接NQ，
①求證“MN=NQ”；
②寫出線段BM，MN和NC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．
【拓展】
如圖2，在等腰△DEF中，∠EDF=45°，DE=DF，點(diǎn)P是EF邊上任意一點(diǎn)（不與E，F(xiàn)重合），連接DP，以DP為腰向兩側(cè)分別作頂角均為45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分別交DE，DF于點(diǎn)K，L，連接GH，分別交DE，DF于點(diǎn)S，T．
（3）線段GS，ST和TH之間滿足的數(shù)量關(guān)系是ST²=GS²+TH²；
（4）設(shè)DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度進(jìn)行作圖即可；（2）先根據(jù)SAS判定△MAN≌△QAN，進(jìn)而得出結(jié)論，再由全等三角形和旋轉(zhuǎn)，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根據(jù)Rt△NCQ中的勾股定理得出結(jié)論；（3）運(yùn)用②中的方法即可得出類似的加侖；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）如圖，△ACQ即為所求；
（2）①證明：由旋轉(zhuǎn)可得，△ABM≌△ACQ
∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°
∴∠BAM+∠NAC=45°
∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°
在△MAN和△QAN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AQ}\\{∠MAN=∠QAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△QAN（SAS）
∴MN=NQ
②MN²=BM²+NC²
由①中可知，MN=NQ，MB=CQ
又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°
在Rt△NCQ中，NQ²=CQ²+NC²，即MN²=BM²+NC²
（3）ST²=GS²+TH²
（4）如圖，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°
∴∠DPK=∠DEP
又∵∠PDK=∠EDP
∴△DPK∽△DEP
∴$\frac{DP}{DE}=\frac{DK}{DP}$，即DP²=DK•DE
∵DK=a，DE=b
∴DP=$\sqrt{ab}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形以及相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換思想方法在解決問題過程中的應(yīng)用．解題時(shí)注意：①旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大�。�即旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等），②任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角彼此相等（都是旋轉(zhuǎn)角），③經(jīng)過旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．