Question

4．兩個(gè)正六邊形，小正六邊形的邊長(zhǎng)為3cm，大正六邊形的周長(zhǎng)為24cm．
（1）這兩個(gè)正六邊形是否相似？為什么？
（2）這兩個(gè)正六邊形中最長(zhǎng)對(duì)角線(xiàn)的比是多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似多邊形的判定定理判斷即可；
（2）分別求出兩個(gè)正六邊形的對(duì)角線(xiàn)，然后求出它們的比即可．

解答 解：（1）相似，
∵小正六邊形的邊長(zhǎng)為3cm，
∵大正六邊形的周長(zhǎng)為24cm．
∴大正六邊形的邊長(zhǎng)為4cm．
∴兩個(gè)正六邊形的內(nèi)角都是120°，
每一組對(duì)應(yīng)邊的比都是$\frac{3}{4}$，
∴兩個(gè)正六邊形相似；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)B，C分別作BM⊥AD，CN⊥AD于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)，
∵AB=3，∠ABM=30°，
∴AM=$\frac{3}{2}$，
同理DN=$\frac{3}{2}$，
MN=BC=3，
∴AD=6，
如圖2，過(guò)點(diǎn)B′，C′分別作B′M′⊥A′D′，C′N(xiāo)′⊥A′D′于點(diǎn)M′，N′兩點(diǎn)，
∵A′B′=4，∠A′B′M′=30°，
∴A′M′=2，
同理D′N(xiāo)′=2，
M′N(xiāo)′=B′C′=4，
∴A′D′=8，
∴AB：A′B′=3：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似多邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．