Question

（2012•長春二模）如圖，拋物線y=ax²+bx+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D（2，0）、B（8，0）．直角梯形AOBC在平面直角坐標(biāo)系中，AC∥OB，點(diǎn)C在拋物線對稱軸上，連接CD．現(xiàn)有兩個動點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時出發(fā)，其中點(diǎn)P以每秒1個單位的速度，沿AO向終點(diǎn)O運(yùn)動；點(diǎn)Q以每秒2個單位的速度沿OB向終點(diǎn)B運(yùn)動．過點(diǎn)P作PE∥AC交CD于點(diǎn)E．設(shè)P、Q兩點(diǎn)運(yùn)動時間為t（秒）．
（1）求這條拋物線的解析式．
（2）求CD的長，并用含有t的代數(shù)式表示DE的長．
（3）若點(diǎn)N在x軸下方的拋物線上，當(dāng)t為何值時，四邊形APNQ為平行四邊形．
（4）當(dāng)△EDQ為直角三角形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）作CM⊥DB于點(diǎn)M，在直角△CND中，利用勾股定理即可求得CD的長；作EF⊥DB于點(diǎn)F，則△CMD∽△EFD，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求得DE的長；
（3）若四邊形APNQ為平行四邊形，則AP=QN，據(jù)此即可得到一個關(guān)于t的方程求得t的值；
（4）△EDQ為直角三角形應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)∠EQD時直角，和∠DEQ是直角兩種情況進(jìn)行討論，利用勾股定理即可得到關(guān)于t的方程，解得t的值．

解答：解：（1）∵點(diǎn)D（2，0）和B（8，0）在拋物線上，
∴

4a+2b+4=0 64a+8b+4=0.

解得

a= 1 4 b=- 5 2

∴這條拋物線的解析式為y=

1

4

x2-

5

2

x+4．（2分）
（2）作CM⊥DB于點(diǎn)M．由題意得，CM=OA=4，DM=5-2=3．
∴在Rt△CMD中，CD=

32+42

=5．（3分）
作EF⊥DB于點(diǎn)F，則△CMD∽△EFD．

DE

5

=

4-t

4

，
∴DE=5-

5

4

t．（5分）
（3）若四邊形APNQ為平行四邊形，則AP=QN．
∴t=-[

1

4

(2t)2-

5

2

(2t)+4]，
解得t₁=t₂=2．
∴當(dāng)t=2時，四邊形APNQ為平行四邊形．（8分）
（4）當(dāng)∠EQD=90°時，Q與F點(diǎn)重合，
∵△CDM∽△EDF，則

EF

CM

=

DE

CD

，即

EF

4

=

5- 5 4 t

5

，則EF=4-t，
根據(jù)勾股定理得：（5-

5

4

t）²=（4-t）²+（2t-2）²，解得：t=

20

11

；
當(dāng)∠DEQ=90°時，△DEQ∽△DMC，則

EQ

CM

=

DE

DM

，則

EQ

4

=

5- 5 4 t

2t-2

，
解得：EQ=

20-5t

2t-2

，
在直角△EQD中，利用勾股定理可得：（5-

5

4

t）²+（

20-5t

2t-2

）²=（2t-2）²，解得：t=

124

49

．
故t=

20

11

或t=

124

49

．（10分）

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及相似三角新的判定與性質(zhì)，勾股定理，在求有關(guān)動點(diǎn)問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果．