Question

13．已知拋物線y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$（a≠0）與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．經(jīng)過第三象限中的定點(diǎn)D．
（1）直接寫出C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)x=x₀時，二次函數(shù)的值記住為y₀，若存在點(diǎn)（x₀，y₀），使y₀=x₀成立，則稱點(diǎn)（x₀，y₀）為拋物線上的不動點(diǎn)，求證：拋物線y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$存在兩個不動點(diǎn)．
（3）當(dāng)△ABD的面積等于△CBD時，求a的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，由定點(diǎn)可知在解析式中含有字母a的單項(xiàng)式之和為0，即可求出對應(yīng)的x的值；進(jìn)而求出點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）令x=y=x₀，運(yùn)用一元二次方程的根的判別式即可進(jìn)行證明；
（3）表示三角形面積根據(jù)題意列方程求解即可．

解答 解：（1）y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$，令x=0，解得y=$\frac{3}{2}$，
∴C（0，$\frac{3}{2}$），
y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$=$a{x}^{2}+2ax+2x+\frac{3}{2}$，
由題意可得：ax²+2ax=0，
解得：x=-2，或x=0（舍去）
當(dāng)x=-2時，y=-$\frac{5}{2}$，
∴D（-2，-$\frac{5}{2}$）；
（2）由題意可得：
x₀=$a{{x}_{0}}^{2}+2（a+1）{x}_{0}+\frac{3}{2}$，
$a{{x}_{0}}^{2}+（2a+1）{x}_{0}+\frac{3}{2}=0$，
△=$（2a+1）^{2}-4×\frac{3}{2}a$=4$（a-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0，
所以方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，拋物線y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$存在兩個不動點(diǎn)；
（3）如圖1

連接AC，由△ABD的面積等于△CBD可知AC∥BD，
y=ax²+2（a+1）x+$\frac{3}{2}$（a≠0），令y=0，得
x=$\frac{-2a-2-\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{2a}$或x=$\frac{-2a-2+\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{2a}$，
可知A（$\frac{-2a-2-\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{2a}$，0），B（$\frac{-2a-2+\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{2a}$，0），
又OC=$\frac{3}{2}$，D（-2，-$\frac{5}{2}$），
由AC∥BD可得，
$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{-2a-2-\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{-2a}}$=$\frac{\frac{5}{2}}{\frac{-2a-2+\sqrt{4{a}^{2}+2a+4}}{2a}+2}$，
解得：a=-2．

點(diǎn)評 此題主要考查二次函數(shù)綜合問題，會求交點(diǎn)坐標(biāo)，會分析定點(diǎn)的問題，知道運(yùn)用平行建立適當(dāng)?shù)年P(guān)系列方程并準(zhǔn)確求解是解題的關(guān)鍵．