Question

10．如圖，等腰三角形△ABC中，AC=BC，點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)．
（1）若∠ACB=90°
①若AC=$\sqrt{6}$，∠CPB=60°，求AP的長；
②若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M為△ACB形外AB下方一點(diǎn)，且∠CMB=90°，求證：CM-BM=$\sqrt{2}$MP；
（2）若∠ACB=120°，點(diǎn)M為△ACB形外AB上方一點(diǎn)，且∠CMA=60°，求$\frac{B{M}^{2}-A{M}^{2}}{M{C}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 （1）①如圖1，過C作CD⊥AB于D，解直角三角形即可得到結(jié)論；②如圖2，在CM上取點(diǎn)B′，使MB′=MB，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可的結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠CBA=30°，作∠AOC=120°，且OA=OC，由三角形的內(nèi)角和得到∠OAC=∠OCA=30°，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，根據(jù)圓周角定理得到∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，推出點(diǎn)M在⊙O上，過M作ME⊥AB，交BA的延長線于E，交CO的延長線于F，作OD⊥AB，設(shè)OA=OC=OM=a，OF=b，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，過C作CD⊥AB于D，
∵∠ACB=90°，AC=BC=$\sqrt{6}$，
∴CD=$\sqrt{3}$，
∵∠CPB=60°，
∴PD=1，
∴AP=$\sqrt{3}$-1；
②如圖2，在CM上取點(diǎn)B′，使MB′=MB，
則∠MBB′=45°，∠1=∠2，
∵$\frac{BB′}{BM}$=$\frac{BC}{BP}$=$\sqrt{2}$，
∴△CBB′∽△PBM，
∴$\frac{CB′}{PM}$=$\sqrt{2}$，∴CB′=$\sqrt{2}$PM，
∴CM-BM=$\sqrt{2}$PM；

（2）∵∠ACB=120°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=30°，
作∠AOC=120°，且OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，
∵∠AMC=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∴點(diǎn)M在⊙O上，
過M作ME⊥AB，交BA的延長線于E，交CO的延長線于F，作OD⊥AB，
設(shè)OA=OC=OM=a，OF=b，
則AD=$\frac{1}{2}$a，AC=$\sqrt{3}$a，AB=3a，BD=$\frac{5}{2}$a，CF=a+b，EB=b+$\frac{5}{2}$a，EA=b-$\frac{1}{2}$a，
∵M(jìn)F²=OM²-OF²=a²-b²，
∴CM²=MF²+CF²=a²-b²+（a+b）²=2a（a+b），
∴BM²-AM²=（ME²+EB²）-（EM²+EA²）=EB²-EA²=（b+$\frac{5}{2}$a）²-（b-$\frac{1}{2}$a）²=6a（a+b），
∴$\frac{B{M}^{2}-A{M}^{2}}{M{C}^{2}}$=$\frac{6a（a+b）}{2a（a+b）}$=3．

點(diǎn)評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，圓周角定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．