Question

在△ABC中，CB=CA，∠BCA=90°，D為BA任意一點，求證：BD²+AD²=2CD²．

Answer 1

考點：勾股定理,等腰直角三角形

專題：證明題

分析：作出圖形，過點D作DE⊥BC于E，作DF⊥AC于F，判斷出△BDE和△ADF都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質可得DE=

2

2

BD，DF=

2

2

AD，再判斷出四邊形DECF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得DE=CF，然后利用勾股定理列式整理即可得證．

解答：證明：如圖，過點D作DE⊥BC于E，作DF⊥AC于F，
∵CB=CA，∠BCA=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴△BDE和△ADF都是等腰直角三角形，
∴DE=

2

2

BD，DF=

2

2

AD，
又∵∠BCA=90°，
∴四邊形DECF是矩形，
∴DE=CF，
在Rt△CDF中，DF²+CF²=CD²，
∴（

2

2

AD）²+（

2

2

BD）²=CD²，
∴BD²+AD²=2CD²．

點評：本題考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，熟記各性質并作輔助線構造出等腰直角三角形和矩形是解題的關鍵．