Question

10．如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，將△ADE繞點A旋轉．
（1）求證：BD=CE；
（2）若∠ADB=90°，DE的延長線交BC于點F，交AB于點G．
①如圖2，求證：點F是BC中點．
②如圖3，若DA=DB，BF=2，直接寫出AG的長為6-2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質得出AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，進而得出∠DAB=∠CAE，即可判斷出，△ADB≌△AEC即可；
（2）①同（1）的方法得出△ADB≌△AEC，則有BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，再構造出△BDF≌△CEH即可得出結論；
②先根據(jù)三角形的內角和得出∠BFD=45°，再構造出特殊的直角三角形，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴AD=AE，∠DAE=60°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AE}\\{∠DAB=∠EAC}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，
（2）①如圖2，

同（1）的方法得出，△ADB≌△AEC，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB=90°，
∵△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∴∠BDF=30°=∠CEH，
延長DF，在DF的延長線上取一點H，使CH=CF，
∴∠H=∠CFH，
∵∠CFH=∠BFD，
∴∠BFD=∠H，
在△BDF和△CEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠H}\\{∠BDF=∠CEH}\\{BD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△CEH，
∴BF=CH，
∵CH=CF，
∴BF=CF，
∴點F是BC中點．
②如圖3，

∵∠ADB=90°，DA=DB，
∴∠ABD=45°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC，∠ABC=60°，
由①知，∠BDF=30°，
根據(jù)三角形的內角和，得，∠BFD=45°，
過點E作EM⊥BF，
設BM=x，在Rt△BGM中，∠ABF=60°，
∴BG=2BM=2x，EM=$\sqrt{3}$BM=$\sqrt{3}$x，
在Rt△EMF中，∠BFD=45°，
∴FM=EM=$\sqrt{3}$x，
∵BF=2，
∴BM+FM=2，
∴x+$\sqrt{3}$x=2，∴x=$\sqrt{3}$-1，
∴BG=2x=2（$\sqrt{3}$-1），
由①知，BF=CF，
∴BC=2BF=4，
∴AB=4，
∴AG=AB-BE=4-2（$\sqrt{3}$-1）=6-2$\sqrt{3}$．
故答案為：6-2$\sqrt{3}$．

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定，等腰三角形的性質，直角三角形的性質和解直角三角形，解本題的關鍵是△ADB≌△AEC，構造出△BDF≌△CEH也是解本題的關鍵，也是難點．