Question

18．如圖，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，點(diǎn)D為$\widehat{AB}$的中點(diǎn)，C為半徑OA上一動點(diǎn)（點(diǎn)A除外），沿CD對折后點(diǎn)A恰好落在扇形AOB的邊線OB或OA上，AC的長可以是6-3$\sqrt{3}$或6或9-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)A′落在半徑OA上．可以畫出相應(yīng)的圖形，可知點(diǎn)A與點(diǎn)A′關(guān)于點(diǎn)CD對稱，從而可以得到DA′=DA，由點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的長，從而可以求得AC的長；
根據(jù)點(diǎn)A′落在半徑OB上，畫出相應(yīng)的圖形，由C為半徑OB上一動點(diǎn)（點(diǎn)A除外），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為A′，可知DB=DA′=DA，由點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的長，從而可以求得BA′的長，進(jìn)而得到A′C的長；根據(jù)題意A′C的長與AC的長相等，可以求得AC的長．

解答 解：①當(dāng)點(diǎn)E落在半徑OA上時，連接OD，如圖1所示，
∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A（2，0），
∴∠COD=30°，OA=OD=6，
∴OC=OD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=OA-OC=6-3$\sqrt{3}$；
②如圖2，沿CD對折后點(diǎn)A恰好落在邊線OB上，且A′和B重合時，
則C和O重合，此時，AC=OA=6；
③沿CD對折后點(diǎn)A恰好落在邊線OB上，且A′和B不重合時，如圖3；
連接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，
∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，點(diǎn)D為弧AB的中點(diǎn)，
∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，
∵OA=OD=6，
∴DF=OD•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，∠OAD=75°，
∴OF=OD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AF=OA-OD=6-3$\sqrt{3}$，
∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，
∴BA′=2AF=12-6$\sqrt{3}$，∠DA′B=∠OBD=75°，
∴OA′=OB-BA′=6-（12-6$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$-6，
∵∠CA′D=∠CAD=75°，
∴∠BA′C=150°，
∴∠OA′C=30°，
∴∠A′CO=90°，
∴CA′=OA′•sin60°=（6$\sqrt{3}$-6）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9-3$\sqrt{3}$，
∴AC=CA′=9-3$\sqrt{3}$．
故答案為：6-3$\sqrt{3}$或6或9-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的圖形，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題．