Question

11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x²+bx+c與x軸交于A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，且∠APD=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，解方程組即可．
（2））如圖，連接AC，作AM⊥BC于M，對(duì)稱軸交x軸于K．首先求出tan∠ACB=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，由∠APD=∠ACB，推出tan∠APK=$\frac{AK}{PK}$=$\frac{1}{2}$，求出PK，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）把A（-1，0），B（-3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{-9-3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-4x-3．

（2）如圖，連接AC，作AM⊥BC于M，對(duì)稱軸交x軸于K．

∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×3=$\frac{1}{2}$•BC•AM，
∵BC=3$\sqrt{2}$，
∴AM=$\sqrt{2}$，CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\sqrt{10-2}$=2$\sqrt{2}$
∴tan∠ACB=$\frac{AM}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∵∠APD=∠ACB，
∴tan∠APK=$\frac{AK}{PK}$=$\frac{1}{2}$，
∴PK=2，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-2），根據(jù)對(duì)稱性可知P′（-2，2）也滿足條件，
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，-2）或（-2，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．