Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在線段AC上以1厘米/秒的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段BA上以2厘米/秒的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程結(jié)束．設(shè)點(diǎn)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）設(shè)△APQ的面積為y（厘米²），請(qǐng)你求出y與t的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量t的取值范圍，并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積最大；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否會(huì)存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)你求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件求出AB的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，的長(zhǎng)△QHA∽△BCA，求出

QH

BC

=

AQ

AB

，即可求出QH的值，最后求S_△APQ的值；
（2）存在在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，此小題要分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值；②當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，求出t的值，經(jīng)檢驗(yàn)它們都符合題意即可．

解答：解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥AC，交AC與點(diǎn)H，
∴△QHA∽△BCA，
∴

QH

BC

=

AQ

AB

，
∴

QH

8

=

10-2t

10

，
∴QH=8-

8

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t（8-t）=4t-

4

5

t²；
當(dāng)t=

4

4 5 ×2

=

5

4

時(shí)，面積有最大值，是4×

5

4

-

4

5

×（

5

4

）²=5-

5

4

=

15

4

；
（2）①當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，
則

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

10-2t

10

=

t

6

，
∴t=

30

11

；
②當(dāng)∠PQA=90°時(shí)，△APQ∽△ABC，
則

AQ

AC

=

AP

AB

，
則

10-2t

6

=

t

10

，
解得t=

50

13

，
當(dāng)t為

30

11

或

50

13

時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，它們都符合題意，此時(shí)△AQP和△ABC相似，
故存在以點(diǎn)A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；此題運(yùn)用函數(shù)的思想，列出函數(shù)表達(dá)式，再利用函數(shù)列出表達(dá)式代入數(shù)值進(jìn)行求解，關(guān)鍵是第二問(wèn)分兩種種情況進(jìn)行討論，不要漏掉．