Question

如圖，已知拋物線：的頂點(diǎn)為，與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)的橫坐標(biāo)是．

（1）求點(diǎn)坐標(biāo)及的值；

（2）如圖1，拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，將拋物線向左平移，平移后的拋物線記為，的頂點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱時(shí)，求的解析式；

（3）如圖2，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線．拋物線的頂點(diǎn)為，與x軸相交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的左邊），當(dāng)以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由拋物線C₁：得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，5）………….1分

∵點(diǎn)A（－1，0）在拋物線C₁上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸于H，作MG⊥x軸于G..

∵點(diǎn)P、M關(guān)于點(diǎn)A成中心對(duì)稱,

∴PM過點(diǎn)A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，5）.………………………3分

∵拋物線C₂與C₁關(guān)于x軸對(duì)稱，拋物線C₃由C₂平移得到

∴拋物線C₃的表達(dá)式.  …………4分

（3）∵拋物線C₄由C₁繞x軸上的點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)180°得到

∴頂點(diǎn)N、P關(guān)于點(diǎn)Q成中心對(duì)稱.

 由（2）得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為5.

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（m，5），作PH⊥x軸于H，作NG⊥x軸于G，作PR⊥NG于R.

∵旋轉(zhuǎn)中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0），H坐標(biāo)為（2，0），

R坐標(biāo)為（m，－5）.

根據(jù)勾股定理，得

     

  

       

①當(dāng)∠PNE＝90º時(shí)，PN²+ NE²＝PE²，

解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）

②當(dāng)∠PEN＝90º時(shí)，PE²+ NE²＝PN²，

解得m＝，∴N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當(dāng)N點(diǎn)坐標(biāo)為（，5）或（，5）時(shí)，以點(diǎn)P、N、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分