Question

（2012•洛陽一模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，且AE：EB=2：1，AF⊥DE于G交BC于F，△AEG的面積為4，則四邊形BEGF的面積為

9

．

Answer 1

分析：首先設(shè)AE=2x，BE=x，由題意可證得△BAF≌△ADE，即可得BF=AE=2x，然后由勾股定理求得AF的長，又可求得△AEG∽△AFB，然后由相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案．

解答：解：設(shè)AE=2x，BE=x，
則AB=AE+BE=3x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠B=90°，AB=DA，
∴∠DAG+∠BAF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AGE=∠EGD=90°，
∴∠DAG+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△BAF和△ADE中，
∵

∠B=∠DAE ∠BAF=∠ADE AB=DA

，
∴△BAF≌△ADE（AAS），
∴BF=AE=2x，
在Rt△ABF中，AF=

AB2+BF2

=

13

x，
∵∠AGE=∠B=90°，∠BAF=∠GAE，
∴△AEG∽△AFB，
∴

S△AEG

S△AFB

=（

AE

AF

）²=（

2x

13 x

）²=

4

13

，
∵△AEG的面積為4，
∴△AFB的面積為13，
∴四邊形BEGF的面積為：13-4=9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．