Question

2．（1）如圖①，四邊形ABCD是正方形，點E在BC邊上（點E不與點B，C重合）運(yùn)動，當(dāng)∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F時，求證：AE=EF．
（2）如圖②，若在（1）的基礎(chǔ)上，點E在BC邊的延長線上（點E不與點C重合）運(yùn)動，其他條件不變，問AE和EF相等嗎？并說明理由．
（3）若將（1）（2）中的正方形ABCD換成長方形ABCD，AB長為a，BC長為b，其他條件不變，且BE=m．問：如圖③，當(dāng)點E在BC邊上（點E不與點B，C重合）運(yùn)動時，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{a-m}{b-m}$；如圖④，當(dāng)點E在BC邊的延長線上（點E不與點C重合）運(yùn)動時，$\frac{AE}{EF}$=$\frac{m-a}{m-b}$．并請對其中的一個結(jié)論進(jìn)行證明．

Answer 1

分析 （1）在AB上取點G，使得BG=BE，連接EG，根據(jù)已知條件利用ASA判定△AGE≌△ECF，因為全等三角形的對應(yīng)邊相等，所以AE=EF；
（2）在BA的延長線上取一點G，使AG=CE，連接EG，根據(jù)已知利用ASA判定△AGE≌△ECF，因為全等三角形的對應(yīng)邊相等，所以AE=EF；
（3）在AB上取點G，使得BG=BE=m，連接EG；證明△AGE∽△ECF，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果；
（4）在BA的延長線上取點G，使得BG=BE，連接EG；同（3），證明△AGE∽△ECF，得出對應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：在AB上取點G，使得BG=BE，連接EG；如圖①所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∵BG=BE，
∴AG=EC，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠BGE=45°，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形的外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∵∠GAE+∠AEB=90°，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠GAE=∠CEF}&{\;}\\{AG=EC}&{\;}\\{∠AEG=∠ECF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；
（2）解：AE=EF；
理由：在BA的延長線上取點G，使得AG=CE，連接EG．
∵四邊形ABCD為正方形，AG=CE，
∴∠B=90°，BG=BE，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠G=45°，
又∵CF為正方形的外角平分線，
∴∠ECF=45°，
∴∠G=∠ECF=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEM=90°-∠AEB，
又∵∠BAE=90°-∠AEB，
∴∠FEM=∠BAE，
∴∠GAE=∠CEF，
在△AGE和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠CEF}&{\;}\\{AG=CE}&{\;}\\{∠GAE=∠CEF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AGE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF．
（3）證明$\frac{AE}{EF}=\frac{a-m}{b-m}$：如圖③，
在AB上取點G，使得BG=BE=m，連接EG；
∵長方形ABCD中，∠B=90°，AB=a，BC=b，BE=m，
∴AG=a-m，EC=b-m，
∵BG=BE=m，
∴△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形的外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∴∠GAE=∠CEF，
∴△AGE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{EC}=\frac{a-m}{b-m}$，
故答案為：$\frac{a-m}{b-m}$；
證明$\frac{AE}{EF}=\frac{m-a}{m-b}$：如圖④，
在BA的延長線上取點G，使得BG=BE，連接EG；
由（2）得：∠G=∠ECF=45°，∠GAE=∠CEF，
∴△AGE∽△ECF，
∴$\frac{AE}{EF}=\frac{AG}{EC}=\frac{m-a}{m-b}$，
故答案為$\frac{m-a}{m-b}$．

點評 本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，本題難度較大，綜合性強(qiáng)，特別是需要通過作輔助線證明三角形全等或相似才能得出結(jié)論．