Question

2．如圖，等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)P為BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)D為AC上的一點(diǎn)，
連結(jié)AP、PD，∠APD=60°．
（1）求證：①△ABP∽△PCD；②AP²=AD•AC；
（2）若PC=2，求CD和AP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①由△ABC為等邊三角形，易得∠B=∠C=60°，又∠APD=60°，由外角性質(zhì)可得∠DPC=∠PAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得△ABP∽△PCD；
②由∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，由相似三角形的判定定理（AA定理）可得△ADP∽△APC，利用相似三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）由△ABP∽△PCD，AB=AC=3，利用相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，易得CD，可得AD，再利用AP²=AD•AC，可得AP．

解答 （1）證明：①在等邊三角形△ACB中，∠B=∠C=60°，
∵∠APD=60°，∠APC=∠PAB+∠B，
∴∠DPC=∠PAB，
∴△ABP∽△PCD；
②∵∠PAC=∠DAP，∠C=∠APD=60°，
∴△ADP∽△APC，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AD}{AP}$，
∴AP²=AD•AC；

（2）解：∵△ABP∽△PCD，AB=AC=3，
∴$\frac{AB}{PC}=\frac{BP}{CD}$，
∴CD=$\frac{2×1}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴AD=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∵等邊三角形△ACB的邊長(zhǎng)為3，PC=2，AP²=AD•AC，
∴AB=3，BP=1，
∴AP=$\sqrt{7}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)及判定，由條件證得△ABP∽△PCD，△ADP∽△APC是解答此題的關(guān)鍵．