Question

11．關于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設x₁，x₂分別是方程的兩個根，且滿足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關系可以得到x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，再把x₁²+x₂²=x₁x₂+10利用完全平方公式變形為（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=10，然后代入計算即可求解．

解答 解：（1）由題意有△=（2m-1）²-4（m²+1）≥0，
解得m≤-$\frac{3}{4}$，
所以實數(shù)m的取值范圍是m≤-$\frac{3}{4}$；

（2）由根與系數(shù)的關系得：x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，
∵x₁²+x₂²=x₁x₂+10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁x₂+10，
∴（2m-1）²-3（m²+1）=10，
∴2m²+9m-5=0，
解得m₁=6，m₂=-2，
∵m≤-$\frac{3}{4}$，
∴m=6舍去，
∴m=-2．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關系，利用兩根關系得出的結果必須滿足△≥0的條件．