Question

已知ABCD是正方形，M是CD的中點，點E在CM上，∠BAE=2∠DAM，求證：AE=AB+CE．

Answer 1

證明：取BC的中點F，連接AF，過點F作FH⊥AE于H，連接EF．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠A=∠D=∠C=90°，
∵M是CD的中點，
∴BF=DM，
在△ABF和△ADM中，
，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴∠BAF=∠DAM，
∵∠BAE=2∠DAM，
∴∠BAF=∠HAF，
∵∠AHF=∠B=90°，
∴∠AFB=∠AFH，BF=FH，
∴AB=AH，
∴FH=FC，
∵∠FHE=∠C=90°，
在Rt△CFE和Rt△HFE中，
，
∴Rt△CFE≌Rt△HFE（HL），
∴EH=CE，
∴AE=AH+HE=AB+CE．
分析：首先取BC的中點F，連接AF，過點F作FH⊥AE于H，連接EF，由四邊形ABCD是正方形，M是CD的中點，易證得△ABF≌△ADM，又由∠BAE=2∠DAM，即可得AF是∠BAE的角平分線，易得AH=AB，BF=HF，又可證得Rt△CFE≌Rt△HFE，即可得EH=CE，繼而可證得AE=AB+CE．
點評：此題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及角平分線的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．