Question

如圖，正方形ABCD內(nèi)有兩點E、F滿足AE=4，EF=FC=12，AE⊥EF，CF⊥EF，則正方形ABCD的邊長為（　　）

• A、

  25

  2

• B、10

  2

• C、20
• D、20

  2

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：連接AC，交EF于點M，可證明△AEM∽△CMF，根據(jù)條件可求得AE、EM、FM、CF，再結(jié)合勾股定理可求得AB．

解答：解：連接AC，交EF于點M，
∵AE丄EF，EF丄FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴

AE

CF

=

EM

FM

，
∵AE=4，EF=FC=12，
∴

EM

FM

=

1

3

，
∴EM=3，F(xiàn)M=9，
在Rt△AEM中，AM²=AE²+EM²=16+9=25，解得AM=5，
在Rt△FCM中，CM²=CF²+FM²=144+81=225，解得CM=15，
∴AC=AM+CM=20，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB²+BC²=AC²=400，
∴AB=10

2

，即正方形的邊長為10

2

．
故選B．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，構(gòu)造三角形相似利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得AC的長是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用．