Question

如圖，已知點(diǎn)A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)y=

k1

x

的圖象上，其中m，n是一元二次方程
x²-2ax+a²-1=0的兩根
（1）寫出m與n的數(shù)量關(guān)系

m=2n

；并求出a的值；
（2）設(shè)直線AB與x軸交于點(diǎn)C，AD⊥x軸于D點(diǎn)，E點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于直線AD對(duì)稱，連接EB交AD于P點(diǎn)，求AP的長度．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A（1，m），B（2，n）代入反比例函數(shù)y=

k1

x

得，m=k₁，n=

k1

2

，即可求出m、n的關(guān)系式，再根據(jù)m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的兩根，求出m、n與a的關(guān)系式，列方程組求出a的值；進(jìn)而求出m、n的值及a的值．
（2）由（1）計(jì)算可知，點(diǎn)A（1，4），B（2，2），據(jù)此求出反比例函數(shù)解析式和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)一次函數(shù)解析式求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性求出E點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到一次函數(shù)EB的解析式，再求出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到AP的長度．

解答：解：（1）將點(diǎn)A（1，m），B（2，n）代入反比例函數(shù)y=

k1

x

得，
m=k₁，n=

k1

2

，
即m=2n，
又∵m，n是一元二次方程x²-2ax+a²-1=0的兩根，
∴m+n=2a，mn=a²-1，
組成方程組得

m=2n m+n=2a mn=a2-1

，
解得a=±3．
當(dāng)a=-3時(shí)，原方程可化為x²+6x+8=0，此時(shí)，m+n=-6，與圖中所示m、n均為正數(shù)數(shù)矛盾，故a=3．
此時(shí)

m=2n mn=8

，解得2n²=8，n=±2；由于n為正數(shù)，故n=2，此時(shí)，m=4．
（2）由（1）計(jì)算可知，點(diǎn)A（1，4），B（2，2），反比例函數(shù)解析式為y=

4

x

．
設(shè)AB的解析式為y=kx+b，把A（1，4），B（2，2）分別代入解析式得

k+b=4 2k+b=2

，
解得

k=-2 b=6

，
函數(shù)解析式為y=-2x+6．
當(dāng)y=0時(shí)，-2x+6=0，x=3，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）．由于E點(diǎn)與C點(diǎn)關(guān)于直線AD對(duì)稱，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
則E點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）．
設(shè)EB的解析式為y=cx+t，把E（-1，0）、B（2，2）分別代入解析式得

-c+t=0 2c+t=2

，
解得

c= 2 3 t= 2 3

，函數(shù)解析式為y=

2

3

x+

2

3

．
當(dāng)x=1時(shí)，y=

4

3

，即P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，

4

3

），AP=4-

4

3

=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了與反比例函數(shù)相關(guān)的問題以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、坐標(biāo)與函數(shù)圖象的關(guān)系等，綜合性較強(qiáng)，要認(rèn)真對(duì)待．