Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過(guò)點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

【小題1】求證：PC是⊙O的切線；
【小題2】求證：BC=AB
【小題3】點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，若AB=4，求MN·MC的值.

Answer 1

【小題1】∵OA=OC,∴∠A=∠ACO    
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB            
∴∠A=∠ACO=∠PCB     ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACO+∠OCB=90°       …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP    …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半徑                     
∴PC是⊙O的切線         …………………………………………………4分
【小題2】∵PC=AC ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P   
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB                ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC=AB            ………………………………………………………6分
【小題3】連接MA,MB                         
∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM   ………7分    
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM        
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB                  
∴  
∴BM²=MC·MN       ……………………8分
∵AB是⊙O的直徑，弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM=   ………………………………………………………9分
∴MC·MN=BM²=8        ……………………………………………………10分

解析