Question

3．閱讀理解：對于任意正實數a，b，因為（$\sqrt{a}$-$\sqrt$）²≥0，∴a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，∴a+b≥2$\sqrt{ab}$，當且僅當a=b時，等號成立．結論：在a+b≥2$\sqrt{ab}$（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2$\sqrt{p}$，當且僅當a=b時，a+b有最小值2$\sqrt{p}$．
根據上述內容，回答下列問題：
（1）若x＞0，只有當x=2時，x+$\frac{4}{x}$有最小值4；
（2）探索應用：如圖，已知A（-2，0），B（0，-3），點P為雙曲線y=$\frac{6}{x}$（x＞0）上的任意一點，過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于D．求四邊形ABCD面積的最小值，并說明此時四邊形ABCD的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據題目所給信息可知x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$，且當x=$\frac{4}{x}$時等號成立，可得出答案；
（2）可設P（x，y），可表示出四邊形ABCD的面積為S_{四邊形ABCD}=6+$\frac{3}{2}x+y$，再利用所給信息可得到其最小值，此時x=2，y=3，可得出AC=BD，可得出四邊形ABCD為菱形．

解答 解：
（1）由題目信息可知x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$，且當x=$\frac{4}{x}$時等號成立，
∴當x=2時，x+$\frac{4}{x}$≥4，
即當x=2時，x+$\frac{4}{x}$有最小值4，
故答案為：2；4；
（2）設P（x，y）（x＞0），則xy=6，
∵A（-2，0），B（0，-3），
∴AC=x+2，BD=y+3，
∴S_{四邊形ABCD}=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$（x+2）（y+3）=$\frac{1}{2}$（xy+3x+2y+6）=6+$\frac{3}{2}$x+y，
∵x＞0，y＞0，
∴$\frac{3}{2}$x+y≥2$\sqrt{\frac{3}{2}xy}$=2×$\sqrt{\frac{3}{2}×6}$=6，且當$\frac{3}{2}x$=y時等號成立，
∴當x=2，y=3時，$\frac{3}{2}$x+y有最小值6，
∴當x=2，y=3時，S_{四邊形ABCD}有最小值6+6=12，
當x=2，y=3時，AO=CO，BO=DO，且AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，
綜上可知四邊形ABCD的面積的最小值為12，此時四邊形ABCD為菱形．

點評 本題主要考查反比例函數的綜合應用，涉及反比例函數解析式、菱形的判定、四邊形的面積等知識點和探究問題的能力．在（1）中關鍵是通過對題目信息的把握，把知識應用到題目的解決中來，在（2）中關鍵是設出P點坐標，用x、y把四邊形ABCD的面積表示出來，再利用題目中的結論來解決．本題為閱讀理解題，這類題目主要考查學生把握信息和處理信息的能力，難度不大．