Question

如圖，將一張矩形紙片ABCD沿EF折疊，使點B與點D重合，C點落在點M處．
（1）若AB=4，AD=8，試求出重合部分△EBF的面積；
（2）連接DF，判斷四邊形DFBE的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）∵矩形ABCD沿EF折疊點B與點D重合，
∴BE=DE，BM=CD，∠EBM=∠ADC=90°，∠M=∠C=90°，
∵AB=CD，
∴AB=BM，
設(shè)BE=DE=x，則AE=AB-DE=8-x，
在Rt△ABE中，AB²+AE²=BE²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴BE=5，
∵∠ABE+∠EBF=∠ABC=90°，
∠MBF+∠EBF=∠EBM=90°，
∴∠ABE=∠MBF，
在△ABE和△MBF中，
，
∴△ABE≌△MBF（ASA），
∴BF=BE=5，
∴△EBF的面積=×5×4=10；

（2）四邊形DFBE是菱形．
理由如下：由翻折的性質(zhì)可得，DF=BF，
∴BE=DE=DF=BF，
∴四邊形DFBE是菱形．
分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得BE=DE，BM=CD，∠EBM=∠ADC=90°，設(shè)BE=DE=x，表示出AE=8-x，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x的值，即為BE的值，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ABE=∠MBF，然后利用“角邊角”證明△ABE和△MBF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=BE，再根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DF=BF，然后求出BE=DE=DF=BF，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形解答．
點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，四條邊都相等的四邊形是菱形，熟記翻折前后的圖形能夠重合得到相等的角與邊是解題的關(guān)鍵．