Question

（2013•香坊區(qū)二模）如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧AB上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線MP交OA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，MD與OA交于點(diǎn)N．
（1）求證：PM=PN；
（2）若BC=3，PA=

3

5

BO，過(guò)點(diǎn)B作BC∥MP交⊙O于點(diǎn)C，求BO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接OM交BC于點(diǎn)Q，由PM是⊙O的切線，可得OM⊥MP，由同角的余角相等，易證得∠PMN=∠PNM，即可得PM=PN；
（2）由（1）∠OMP=90°，可得MP∥BC，即可求得BQ的長(zhǎng)，又由三角函數(shù)的性質(zhì)，易得sin∠BOQ=sin∠P，即可得

BQ

BO

=

OM

OP

，繼而求得答案．

解答：（1）證明：連接OM交BC于點(diǎn)Q，
∵PM是⊙O的切線，
∴OM⊥MP，
即∠OMP=90°，
∴∠PMN=90°-∠OMD，
∵∠PNM=∠OND=90°-∠ODM，
∵OD=OM，
∴∠OMD=∠ODM，
∴∠PMN=∠PNM，
∴PM=PN；

（2）由（1）∠OMP=90°，
∵M(jìn)P∥BC，
∴OM⊥BC，BC=3，
∴BQ=

3

2

，
∵∠BOM+∠MOP=90°，∠P+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠P，
∴sin∠BOQ=sin∠P，
∴

BQ

BO

=

OM

OP

，
∵OB=OM=OA，
∴OP=OA+

3

5

BO=

8

5

BO，
∴

3 2

BO

=

OB

8 5 OB

，
∴OB=

12

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．