Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊的中點，點P在射線AD上，過P作PF⊥AE于F，設(shè)PA=x．
（1）求證：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F(xiàn)，E為頂點的三角形也與△ABE相似，試求x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件可以證明兩個角對應(yīng)相等，從而證明三角形相似；
（2）由于對應(yīng)關(guān)系不確定，所以應(yīng)針對不同的對應(yīng)關(guān)系分情況考慮：當(dāng)∠PEF=∠EAB時，則得到四邊形ABEP為矩形，從而求得x的值；當(dāng)∠PEF=∠AEB時，再結(jié)合（1）中的結(jié)論，得到等腰△APE．再根據(jù)等腰三角形的三線合一得到F是AE的中點，運用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)進行求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，且∠ABE=90°，
∴∠PAF=∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°
∴△PFA∽△ABE；

（2）解：①當(dāng)△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB時，
則有PE∥AB
∴四邊形ABEP為矩形，
∴PA=EB=2，即x=2．
②當(dāng)△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB時，
∵∠PAF=∠AEB
∴∠PEF=∠PAF，
∴PE=PA
∵PF⊥AE，
∴點F為AE的中點，
∵AE=

AB2+BE2

=

42+22

=

20

=2

5

∴EF=

1

2

AE=

5

由

PE

AE

=

EF

EB

，
即

PE

2 5

=

5

2

得PE=5，
即x=5
故滿足條件的x的值為2或5．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運用，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．