Question

2．如圖，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點（不與端點重合），過P作PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，連接AP，EF．
（1）求證：AP=EF；
（2）試判斷AP與EF的位置關系，并證明．

Answer 1

分析 （1）首先連接AC，PC，由四邊形ABCD是正方形，可得BD垂直平分AC，即可證得AP=PC，又由PE⊥BC，PF⊥CD，證得四邊形PECF是矩形，可判定EF=PC，繼而證得結論；
（2）AP⊥EF．過點P作PN⊥AB，垂足為點N，延長AP，交EF于點M，利用全等三角形的判定定理可得△ANP≌△FPE（SSS），在△APN與△FPM中，根據三角形的內角和定理可得結論．

解答 （1）證明：連接AC，PC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，∠BCD=90°，
∴AP=CP，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴四邊形PECF是矩形，
∴PC=EF，
∴AP=EF

（2）解：AP⊥EF．
過點P作PN⊥AB，垂足為點N，延長AP，交EF于點M，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠CBD=45°，
∴△DFP為等腰直角三角形，
∴DF=PF，又AN=DF，
∴AN=FP，
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四邊形BNPE是正方形，
∴NP=EP，
又∵AP=PC，
四邊形PECF為矩形，
∴EF=PC，
∴AP=EF，
在△ANP與△FPE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AN=FP}\\{NP=EP}\\{AP=EF}\end{array}\right.$，
則△ANP≌△FPE（SSS），
∴∠NAP=∠PFE，
△APN與△FPM中，∠APN=∠FPM，∠NAP=∠PFM，
∴∠PMF=∠ANP=90°，
∴AP⊥EF．

點評 此題考查了正方形的性質、矩形的判定與性質以及線段垂直平分線的性質．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．