Question

如圖①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．作正方形DEFG，使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上，連接AE、BG．

（1）試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你得到的結(jié)論                  ．

（2）將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)一定角度后（旋轉(zhuǎn)角度大于0°，小于或等于360°），如圖②，通過(guò)觀察或測(cè)量等方法判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)予以證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE為最大值時(shí)，求AF的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）BG＝AE．

（2）成立． 

如圖②，

連接AD．∵△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．

∴∠ADB＝90°，且BD＝AD．

∵∠BDG＝∠ADB－∠ADG＝90°－∠ADG＝∠ADE，DG＝DE．

∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE．…………………………………………7分

（3）由（2）知，BG＝AE，故當(dāng)BG最大時(shí)，AE也最大．

正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)270°時(shí)，BG最大，如圖③．

若BC＝DE＝2，則AD＝1，EF＝2．

在Rt△AEF中，AF ²＝AE ²＋EF ²＝(AD＋DE)²＋EF ²＝(1＋2)²＋2 ²＝13．

∴AF＝

【解析】（1）在Rt△BDG與Rt△EDA；根據(jù)邊角邊定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；

（2）連接AD，根據(jù)直角三角形與正方形的性質(zhì)可得Rt△BDG≌Rt△EDA；進(jìn)而可得BG=AE；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，求BG的最大值，分析可得此時(shí)F的位置，由勾股定理可得答案．