Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，DC=5，AB=4，∠B=45°．動點M從B點出發(fā)沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動；動點N同時從C點出發(fā)沿線段CD以每秒1個單位長度的速度向終點D運動．設(shè)運動的時間為t秒．

1.求BC的長

2.當(dāng)MN∥AB時，求t的值

3.試探究：t為何值時，△MNC為等腰三角形．

 

Answer 1

 

1.如圖①，過A、D分別作AK⊥BC于K，DH⊥BC于H，則四邊形ADHK是矩形．

∴KH=AD=3．

在Rt△ABK中，AK=AB•sin45°=4•=4BK=AB•cos45°=4=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC==3．

∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10．（2分）

2.如圖②，過D作DG∥AB交BC于G點，則四邊形ADGB是平行四邊形．

∵M(jìn)N∥AB，

∴MN∥DG．

∴BG=AD=3．

∴GC=10﹣3=7．

由題意知，當(dāng)M、N運動到t秒時，CN=t，CM=10﹣2t．

∵DG∥MN，

∴∠NMC=∠DGC．

又∠C=∠C，

∴△MNC∽△GDC．

∴，

即．

解得，．（3分）

3.分三種情況討論：

①當(dāng)NC=MC時，如圖③，即t=10﹣2t，

∴．

②當(dāng)MN=NC時，如圖④，過N作NE⊥MC于E．

由等腰三角形三線合一性質(zhì)得

EC=MC=（10﹣2t）=5﹣t．

在Rt△CEN中，cosC==，

又在Rt△DHC中，cosC=，

∴．

解得t=．

③當(dāng)MN=MC時，如圖⑤，過M作MF⊥CN于F點．FC=NC=t．

（方法同②），

解得．

綜上所述，當(dāng)t=、t=或t=時，△MNC為等腰三角形．（3分）

解析:（1）作梯形的兩條高，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)求解；

（2）平移梯形的一腰，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)求解；

（3）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識求解．