Question

如圖，已知⊙O為Rt△ABC的內切圓，切點為D、E、F，半徑為r，∠C＝90°，AB、BC、AC的長分別為c、a、b，求證：．

Answer 1

答案：
解析：

連結OD、OE、OF，則OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC． ∴四邊形CDOF為正方形，CF＝CD＝DO＝OF＝r． 由O是內心，得∠1＝∠2． 在Rt△AOF和Rt△AOE中， ∵∠1＝∠2，∠AFO＝∠AEO＝90°，AF＝AE， ∴Rt△AOF≌Rt△AOE． ∴AF＝AE． 同理可證BD＝BE． ∵AF＝AC－CF＝b－r，BD＝BC－CD＝a－r， ∴AE＋BE＝AF＋BD＝b－r＋a－r＝AB＝c． ∴2r＝a＋b－c，即．

提示：

求證的結論是內切圓的半徑為r與Rt△ABC的三邊之間的關系，因此必須將r代換到△ABC的邊上去．顯然四邊形CDOE是正方形，則CD＝CF＝r． 由AF＝b－r，BD＝a－r，不難看出AF＝AE，BD＝BE，因而b－r＋a－r＝c，問題得證．